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Anhang.

Der Rückwärtseinschnitt auf der Kugel.

Die strenge Rechnung erfordert die Auflösung einer Gleichung 1 ) vierten Grades und wird daher nur angewandt werden, wenn keine Näherungswerte für die Wurzeln der Gleichung, anderweitig bekannt oder zu beschaffen sind. Herr Oberst v. Kobbe 2 ) empfiehlt mit den als bekannt angenommenen Koordinaten des gesuchten Ortes die entsprechenden Winkel zu berechnen, mit den gemessenen zu vergleichen und dann durch Auflösung zweier Gleichungen ersten Grades die Fehler der ange­nommenen Koordinaten zu berechnen. Mit Aus­nahme weniger Fälle, in denen auch die direkte Rechnung nur schwer zum Ziel führt, ist dies Ver­fahren, das in den Vermessungslehrbiichern auf mehr als zwei Beobachtungen allgemein im Gebrauch ist, auf alle sphärischen Dreiecke anwendbar.

Anstatt Näherungswerte für die Koordinaten des gesuchten Ortes zu verwenden, kann man, da die Koordinaten nicht direkt aus der Gleichung vierten Grades bestimmtwerden, sondern nur trigonometrische Funktionen einer der beiden Koordinaten, auch solche trigonometrische Funktionen als bekannt voraussetzen, die sich bei starker Änderung dieser Koordinate nur gering ändern; soll z. B. die Funktion sin x oder tätig x berechnet werden und ist x ein kleiner Wert, so wird man als bekannt die Funktion cos x ein­führen dürfen, falls für x ein brauchbarer Näherungs­wert bekannt ist. Auf solche Weise lassen sich oft Gleichungen höheren Grades auf solche niederen Grades zurückführen. Beim sphärischen Rückwärts­einschnitt kann man in dieser Art das sphärische Problem in ein ebenes umwandeln, wie wir im folgenden zeigen wollen.

Die Handbücher für Vermessungskunde 8 ) und geographische Ortsbestimmung 4 ) beschränken die Aufgabe auf die Auflösung kleiner sphärischer Vierecke. Durch Ermittlung des sphärischen Ex­zesses führen sie statt des sphärischen Vierecks ein ebenes (Legendresches) Hilfsviereck ein. Die Be­rechnung des sphärischen Exzesses kann in der bekannten Weise aber nur für kleine Vierecke mit einiger Sicherheit vorgenommen werden. Die oben angedeutete Methode ist von solchen Einschränkungen

*) A. Wedemeyer, Die ebenen und die sphärischen Cassinischen Linien als geometrische Örter. Das Pothenotsche Problem auf der Sphäre. Astron. Nachrichten, Bd. 185, Nr. 4440.

2 ) Annalen d. Hydrographie usw. 1910, S. 288.

3 ) Jordan, Handbuch d. Vermessungskunde, III. Bd., 5. Auf!., S. 262.

4 ) Albrecht, Formeln und Hilfstafeln für geographische Ortsbestimmungen.

■ frei. Wie mir scheint, ist die Einführung der Legendreschen Hilfsdreiecke nur notwendig und ; nützlich in dem Falle, wo die drei Seiten des Dreiecks ! gegeben sind und die Winkel berechnet werden | sollen, ein Fall, der bei Vermessungen kaum ein- | treten dürfte. 1 )

j Um zu zeigen, daß auch in der Ebene die Ent- ! fernung des gesuchten Punktes von dem Durch- I schnittspunkte der beiden bekannten Seiten des ! Vierecks durch eine quadratische Gleichung ge- ! funden wird, was nach Einführung des Burck- I hardtschen Winkels /t nicht deutlich zutage tritt,

I mögen die Formeln hier entwickelt werden, und j zwar in derselben Weise, wie es Herr Günther 2 )

für das sphärische Viereck durchgeführt hat. In Fig. 1 sind die drei Punkte MON gegeneinander festgelegt durch die zwei Entfernungen OM = lj und

Fig. 1.

j ON = 1 0 , und durch den Winkel MON = y = 2 s.

Vom Punkte P aus seien die Winkel und A 2 I gemessen worden. Durch O als Ursprung legen j wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem XY, dessen ! X-Achse mit der Halbierungslinie des Winkels y j zusammenfallen soll. Sei u der Polarwinkel, den j OP = d mit der X-Achse einschließt, dann ist j d cos u = x

j d sin u = y

j d 2 = x 2 -f- y 2 .

1) Nach brieflicher Mitteilung hat Herr Hammer bereits j vor 15 Jahren die gnomonische Abbildung ebenfalls angewandt.

2 ) Das Pothenotsche Problem auf der Kugelfläche.

Sitzungsber. d. math. phys. Klasse d. Königl. Bayer. Akad. d.

Wissensch. 34, München 1904, S. 115 u. A. d. Archiv d. See-

j warte, Hamburg 1910, Nr. 1, S. 8.